Artur de Sousa Costa nasceu em Pelotas (RS), em 1893.

Fez carreira como funcionário do Banco da Província do Rio Grande do Sul. Após o triunfo da Revolução de 1930, que levou o político gaúcho Getúlio Vargas ao poder, foi nomeado, em janeiro de 1932, para a presidência do Banco do Brasil, após a instituição ter passado por seguidas administrações de curta duração. O período era de grave crise econômica, cujos efeitos mais graves sobre a economia brasileira se expressavam na drástica redução dos valores das exportações de café.

À frente do banco, Sousa Costa procurou aplicar uma política coerente com a orientação do Ministério da Fazenda, comandado por Oswaldo Aranha, cujos principais preceitos eram a busca do equilíbrio orçamentário, a restrição ao crédito, o incentivo à industrialização e a desvalorização da moeda nacional através do controle cambial, que a partir de 1931 passara a ser da competência exclusiva do Banco do Brasil. Em julho de 1934, deixou a direção do Banco do Brasil para substituir Oswaldo Aranha na pasta da Fazenda. Permaneceu nesse cargo até o fim do governo Getúlio Vargas, em 1945. No ministério, procurou dar continuidade ao trabalho de seu antecessor. Durante sua gestão, ganhou relevância o debate acerca dos parceiros prioritários do Brasil no comércio externo, já que a presença norte-americana, apesar de efetiva, era cada vez mais ameaçada pela concorrência da Alemanha, país que chegou a ocupar a posição de segundo parceiro comercial do Brasil.

O conflito mundial iniciado em 1939, porém, acabou por exigir uma definição mais clara do governo brasileiro em torno de suas parcerias comerciais. Nesse sentido, teve papel importante a missão econômica enviada aos Estados Unidos no início de 1942, sob a chefia de Sousa Costa, que resultou na assinatura dos Acordos de Washington, aproximando os dois países e definindo o apoio brasileiro aos Aliados na Segunda Guerra Mundial. Por outro lado, a redução do fluxo de investimentos externos, já notada nos anos que antecederam ao conflito, levou o governo brasileiro a abrir linhas especiais de crédito para estimular o desenvolvimento industrial do país.

Com a crise do regime a partir de 1945, deu apoio ao movimento queremista, que reivindicava a convocação de uma Assembléia Nacional Constituinte com Vargas no poder. A queda do ditador, em outubro daquele ano, porém, determinou a sua saída do ministério. Em dezembro de 1945, elegeu-se deputado federal constituinte pelo Rio Grande do Sul na legenda do Partido Social Democrático (PSD), que aglutinava os grupos oligárquicos que haviam apoiado o Estado Novo. Entre 1950 e 1955 presidiu o Conselho Nacional de Economia.

Morreu no Rio de Janeiro, em 1957.